Aby zdefiniować pojęcie “kompozycji”, zacznijmy od podstawowych pojęć:

  1. obiekt elementarny,
  2. relacja
  3. zbiór.

Chcemy stworzyć definicję kompozycji dwóch relacji i , które są elementami zbioru .

Komentarz

W kontekście LAI, kompozycja powinna być rozumiana jako operacja łącząca dwie relacje w nową relację, nie jako dodanie czy złożenie funkcji, lecz jako pewna pierwotna relacja wewnątrz teorii. Na etapie LAI nie posługujemy się zatem jeszcze pojęciami matematycznymi. Biorąc pod uwagę aksjomaty LAI i to, że nie dzielimy obiektów elementarnych na mniejsze części, możemy uważać, że:

  1. jeśli relacja systematyzuje obiekt z obiektem ,
  2. relacja systematyzuje obiekt z obiektem ,

To możemy definiować kompozycję i jako stosunek , która będzie systematyzować obiekt bezpośrednio z obiektem .

Definicja Kompozycji w ATP

Niech będzie zbiorem relacji. Definiujemy kompozycję relacji i , które są elementami , jako operację tworzącą nowy stosunek w następujący sposób:

  1. Jeżeli systematyzuje z i systematyzuje z , to kompozycja jest stosunkiem systematyzującym z takim, że .
  2. Stosunek jest określany jednoznacznie przez relacje i i nie zależy od żadnych innych elementów lub relacji z .

Oznacza to, że dla dowolnych relacji , istnieje unikalny stosunek , który jest wynikiem tej kompozycji.

Dla oznaczenia stosunku kompozycji w ramach Logiki aksjomatyczno-informacyjnej wprowadzam nowy symbol tej relacji niepierwotnej: . Jest to propozycja rozszerzenia języka o nowy symbol, który jest tylko konwencją.

Warunki dla Kompozycji

  1. Jeśli , to również .
  2. Jeżeli , to kompozycja jest równa kompozycji , co oznaczamy jako .
  3. Dla każdego , istnieje relacja , taka że dla każdego , kompozycja jest równa .

To formalne podejście pozwala na użycie kompozycji jako operacji w LAI bez konieczności dodawania nowych aksjomatów - zamiast tego, definiujemy nową operację w oparciu o już istniejące pojęcia pierwotne.

Twierdzenie 1

Jeśli istnieją relacje i , to istnieje stosunek , który jest równy kompozycji i .

Dowód:

  1. Z aksjomatu 7. ATP wiemy, że
  2. Z definicji kompozycji wynika, że istnieje relacja , która jest wynikiem kompozycji i oraz
  3. Z warunku 1. dla kompozycji skoro , to również należy do , co jest zgodne z aksjomatem 7. ATP.
  4. Z warunku 2. dla kompozycji, mamy
  5. Z warunku 3. dla kompozycji, relacja identyczności sprawia, że , co jest zgodne z aksjomatem 1. ATP.

Drobnego wytłumaczenia wymaga stosowanie tu zapisu - formalnie zgodnie z konwencją zaproponowaną przez doc. Kosseckiego relację oznacza się przy pomocy , gdzie i oznaczają identyfikatory obiektów elementarnych między którymi relacja występuje. Aksjomat 3. ATP mówi o dowolnej relacji , że jest tożsama sama z sobą, co można zapisać . W tym przypadku użyłem identyfikatorów by podkreślić, że relacja występuje w obiekcie .