Aby zdefiniować pojęcie “kompozycji”, zacznijmy od podstawowych pojęć:
- obiekt elementarny,
- relacja
- zbiór.
Chcemy stworzyć definicję kompozycji
Komentarz
W kontekście LAI, kompozycja powinna być rozumiana jako operacja łącząca dwie relacje w nową relację, nie jako dodanie czy złożenie funkcji, lecz jako pewna pierwotna relacja wewnątrz teorii. Na etapie LAI nie posługujemy się zatem jeszcze pojęciami matematycznymi. Biorąc pod uwagę aksjomaty LAI i to, że nie dzielimy obiektów elementarnych na mniejsze części, możemy uważać, że:
- jeśli relacja
systematyzuje obiekt z obiektem , - relacja
systematyzuje obiekt z obiektem ,
To możemy definiować kompozycję
Definicja Kompozycji w ATP
Niech
- Jeżeli
systematyzuje z i systematyzuje z , to kompozycja jest stosunkiem systematyzującym z takim, że . - Stosunek
jest określany jednoznacznie przez relacje i i nie zależy od żadnych innych elementów lub relacji z .
Oznacza to, że dla dowolnych relacji
Dla oznaczenia stosunku kompozycji w ramach Logiki aksjomatyczno-informacyjnej wprowadzam nowy symbol tej relacji niepierwotnej:
Warunki dla Kompozycji
- Jeśli
, to również . - Jeżeli
, to kompozycja jest równa kompozycji , co oznaczamy jako . - Dla każdego
, istnieje relacja , taka że dla każdego , kompozycja jest równa .
To formalne podejście pozwala na użycie kompozycji jako operacji w LAI bez konieczności dodawania nowych aksjomatów - zamiast tego, definiujemy nową operację w oparciu o już istniejące pojęcia pierwotne.
Twierdzenie 1
Jeśli istnieją relacje
i , to istnieje stosunek , który jest równy kompozycji i .
Dowód:
- Z aksjomatu 7. ATP wiemy, że
- Z definicji kompozycji wynika, że istnieje relacja
, która jest wynikiem kompozycji i oraz - Z warunku 1. dla kompozycji skoro
, to również należy do , co jest zgodne z aksjomatem 7. ATP. - Z warunku 2. dla kompozycji, mamy
- Z warunku 3. dla kompozycji, relacja identyczności
sprawia, że , co jest zgodne z aksjomatem 1. ATP.
Drobnego wytłumaczenia wymaga stosowanie tu zapisu